高中四个均值不等式

高中四个均值不等式

高中均值不等式通常指的是以下四个不等式：

算术平均数-几何平均数不等式 （AM-GM不等式）

$$

\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \quad \text{（当且仅当} \quad a = b \quad \text{时取等号）}

$$

调和平均数-几何平均数不等式 （HM-GM不等式）

$$

\frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n}} \leq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \quad \text{（当且仅当} \quad a_1 = a_2 = \cdots = a_n \quad \text{时取等号）}

$$

几何平均数-算术平均数不等式

$$

\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \leq \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \quad \text{（当且仅当} \quad a_1 = a_2 = \cdots = a_n \quad \text{时取等号）}

$$

平方平均数不等式

$$

\sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}} \geq \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \quad \text{（当且仅当} \quad a_1 = a_2 = \cdots = a_n \quad \text{时取等号）}

$$

这些不等式在数学中有广泛的应用，特别是在优化问题和概率论中。需要注意的是，上述不等式中的 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 表示任意正实数，而 $n$ 表示这些数的个数