考研高数题目解析

考研高数题目解析

考研高数题目解析：

1. 函数连续性与积分中值定理

题目：设函数 \（ f \） 在区间 \（[a, b]\） 上连续，且 \（\int_{a}^{b} f（x） \, dx = 0\），证明存在 \（\xi \in （a, b）\），使得 \（ f（\xi） = 0\）。

解析：

由积分中值定理知，存在 \（\xi \in （a, b）\），使得 \（\int_{a}^{\xi} f（x） \, dx = \int_{\xi}^{b} f（x） \, dx\）。

由于 \（\int_{a}^{b} f（x） \, dx = 0\），则 \（\int_{a}^{\xi} f（x） \, dx = -\int_{\xi}^{b} f（x） \, dx\）。

若 \（\int_{\xi}^{b} f（x） \, dx

eq 0\），则 \（\int_{a}^{\xi} f（x） \, dx\） 和 \（\int_{\xi}^{b} f（x） \, dx\） 必然异号，这与积分中值定理矛盾。

因此，\（\int_{\xi}^{b} f（x） \, dx = 0\），进而 \（ f（\xi） = 0\）。

2. 矩阵的秩与特征值

题目：设 \（ A \） 是秩为 \（ r \） 的 \（ n \times n \） 阶方阵，证明：\（ A \） 的特征多项式无重根的充分必要条件是存在秩为 \（ r \） 的 \（ n \times n \） 阶矩阵 \（ B \） 和 \（ C \），使得 \（ A = B + C \）。

解析：

充分性：若存在这样的 \（ B \） 和 \（ C \），则 \（\det（A） = \det（B + C） = \det（B） \cdot \det（I + B^{-1}C）\）。由于 \（ B \） 的秩为 \（ r \），则 \（\det（B）

eq 0\）。因此，\（\det（A） = 0\），即 \（ A \） 的特征多项式有重根。